Note13

D-Separation

D-separation 是贝叶斯网络中的一个概念，用于通过图结构(DAG)判断随机变量之间的条件独立性 首先需要回顾一下的是：在图中，只要给定了某个节点的所有父节点，那么该节点就与其所有祖先节点在逻辑上是相互独立的

A node is conditionally independent of all its ancestor nodes in the
graph given all of its parents.

Causal Chain( 因果链 )

• 没有被给定：

这时X和Z不是独立的，因为信息可以沿着链来传递

• 给定Y：

这时候X和Z关于Y条件独立(X⊥⊥Z∣Y)，这时候就用到了最开始提到的定理，只要给定了某个节点的所有父节点，那么该节点就与其所有祖先节点在逻辑上是相互独立的，此时X和Z是独立的 也可以通过公式来证明： HINT: 记得回顾一下链式法则还有独立性

$$\begin{array}{rl}P(X\mid Z,y)& =\frac{P(X,Z,y)}{P(Z,y)}=\frac{P(Z\mid y)P(y\mid X)P(X)}{{\sum }_{x}P(x,y,Z)}=\frac{P(Z\mid y)P(y\mid X)P(X)}{P(Z\mid y){\sum }_{x}P(y\mid x)P(x)}\\ & =\frac{P(y\mid X)P(X)}{{\sum }_{x}P(y\mid x)P(x)}=P(X\mid y)\end{array}$$

Common Cause( 共同原因 )

• 没有被给定：

X，Z不是独立的，因为他们共同受到了Y的影响。

• 给定Y：

X 和 Z 关于 Y 条件独立 (X⊥⊥Z∣Y)。知道 Y 之后，X 和 Z 之间的关联被解释，再无其他联系，同样可以通过公式来证明：

$$\begin{array}{rl}P(X\mid Z,y)& =\frac{P(X,Z,y)}{P(Z,y)}=\frac{P(X\mid y)P(Z\mid y)P(y)}{P(Z\mid y)P(y)}=P(X\mid y)\end{array}$$

Common Effect

• 没有被给定:

X⊥⊥Z，没有任何给定，没有理由认为两个无关的原因有关联

• 给定Y：

X和Z不独立，X和Z会对Y产生的原因产生explaining away( 解释竞争 )。

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D-Seperation判定算法

给定贝叶斯网络 G，节点 X和 Y，以及观测节点集合 Z={$Z_1$,…,$Z_k$}，要判断 X⊥⁣⊥Y∣Z是否保证成立（即 D-separate），步骤如下:

1. 阴影化观测节点：在图中将Z 中的所有节点涂灰（代表它们已被观测）
2. 枚举 X 到 Y 的所有无向路径：忽略箭头的方向，找出所有从 X 到 Y 的路径（节点不重复即可，不要担心循环，但通常考虑简单路径）

3.  - 将路径分解为连续的三节点片段。
   

   • 检查每个三节点片段是否是活跃的（根据上述规则）。
   • 如果所有片段都是活跃的，则该路径是活跃的（active path），它 D-connects X 和 Y，意味着 X 和 Y 不一定条件独立。
4. 结论:
   • 如果 不存在任何活跃路径，则 X⊥⊥Y∣Z被保证成立（D-separated）。
   • 如果 存在至少一条活跃路径，则不能保证条件独立（可能依赖，也可能不依赖，取决于具体概率值）。

主要需要留意的是：如果只有一条路径，这条路径上只要有一个三元组是Inactive Triples,那么这条路径就是Inactive的，条件一定是独立的。 如果有多条路径，只要有一条路径是Active,即便其它路径都是Inactive,也就是说不能忽略Active路径展示的相关性，不能证明条件是独立的

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Active triples

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Inactive triples

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Example